Säkrare uppskattningar genom interpolation med föreskrivna poler
Avhandlingen rör approximation av analytiska funktioner i en komplex variabel med rationella interpolanter med föreskrivna poler. Resultaten är av grundforskningskaraktär, men tänkbara tillämpningar finns inom exempelvis beräkningsvetenskap.
Rationell interpolation är en gren av den del av matematiken som kallas approximationsteori. De frågor man där ställer sig gäller ofta uppskattning av olika funktionsvärden. När man exempelvis låter sin miniräknare beräkna värdet av sinusfunktionen i punkten ett (mätt i radianer), så ger inte miniräknaren något exakt svar utan en uppskattning (ca. 0,8415) med ett visst antal korrekta decimaler beroende på räknarens noggrannhet.
För att åstadkomma en sådan uppskattning av en given funktion (t.ex. sinusfunktionen) så ersätter man ofta den givna funktionen med en ”enklare” funktion, vars värden man lätt kan beräkna men som också ligger så nära värdena av den givna funktionen att felet blir försumbart. Vanligt i detta sammanhang är att man använder polynom för att approximera, eftersom dessa är matematiskt lätthanterliga objekt men också är tillräckligt flexibla för att kunna efterlikna många mer komplicerade funktioner.
Avhandlingen handlar om approximation av så kallade analytiska funktioner i en komplex variabel med hjälp av polynom eller rationella funktioner vilka man konstruerar via ett interpolationsförfarande och vars poler är föreskrivna.
o Komplexa tal kan ses som punkter i ett plan istället för det man normalt tänker sig – punkter på en linje
o En rationell funktion är en kvot mellan två polynom
o Interpolation innebär att man konstruerar sin rationella funktion så att den överensstämmer helt med den givna målfunktionen i ett ändligt antal punkter
o Att föreskriva poler innebär att man också bestämmer på förhand var den rationella funktionens nämnare ska ha sina nollställen.
Om antalet interpolationspunkter är tillräckligt stort och dessa punkter dessutom är valda med omsorg, så kan man få sin rationella funktion att efterlikna målfunktionen med stor noggrannhet även på ett större område i det komplexa talplanet.
Hur interpolationspunkter och poler ska väljas har studerats ända sedan trettiotalet och man vet idag mycket om hur det fungerar så länge interpolationspunkterna inte ligger för nära kanten av målfunktonens definitionsområde. I vissa situationer är det dock motiverat att låta interpolationspunkterna närma sig kanten av detta område och denna situation har inte studerats lika ingående. Problemet är att en analytisk funktion kan ha ett komplicerat beteende nära kanten av sitt definitionsområde, vilket innebär att om man interpolerar där, så måste interpolationspunkterna väljas med extra stor omsorg för att ge relevant information om målfunktionen.
Ett av huvudresultaten i avhandlingen visar att om man låter interpolationspunkerna ligga godtyckligt nära kanten, men dock begränsar avståndet från interpolationspunkterna till kanten i förhållande till antalet punkter, så kommer man att kunna approximera de analytiska funktioner som uppfyller ett givet tillväxtvillkor.
Anders Gustafsson är uppvuxen i Skiråsen, Storumans kommun.
Anders Gustafsson nås på:
Tel: 090- 786 51 31
e-post: anders.gustafsson@math.umu.se
Fredagen den 1 mars försvarar Anders Gustafsson, matematiska institutionen, Umeå universitet, sin doktorsavhandling med titeln Rational interpolation with prescribed poles. Svensk titel: Rationell interpolation med föreskrivna poler.
Disputationen äger rum kl. 13.15 i MIT-huset, hörsal MA121.
Fakultetsopponent är professor Guillermo Lopez Lagomasino, Departamento de Matemáticas, Universidad Carlos III de Madrid, Madrid, Spanien.
