Automatiserad lösning av differentialekvationer
Naturen kan ofta beskrivas med differentialekvationer. Att lösa differentialekvationer är därför en av naturvetenskapernas huvuduppgifter. Tidigare har det inte varit möjligt att lösa differentialekvationer i någon större utsträckning. Med papper och penna kan ekvationerna bara lösas i ett fåtal specialfall. Med datorns inträde har situationen förändrats. I en doktorsavhandling på Chalmers presenterar Anders Logg nya metoder för automatiserad lösning av differentialekvationer.
Några välkända exempel på differentialekvationer är Newtons rörelseekvationer, Navier-Stokes ekvationer för fluidmekanik, Maxwells ekvationer för elektromagnetik, Einsteins ekvation för allmän relativitetsteori och Schrödingerekvationen för kvantmekanik.
Ett talande exempel är det så kallade n-kropparsproblemet. Detta beskriver rörelsen av ett antal (n) kroppar under inverkan av ömsesidig gravitation, som till exempel vårt solsystem. Newton löste själv problemet för två kroppar redan 1687, men ingen har kunnat lösa n-kropparsproblemet för tre eller flera kroppar innan datorn kom in i bilden. Med en vanlig skrivbordsdator, eller en programmerbar miniräknare, kan lösningen till tre-kropparsproblemet beräknas på bråkdelar av en sekund. Genom att datorn på detta sätt möjliggör lösning av differentialekvationer öppnas nya och spännande möjligheter för simulering och förståelse.
Anders Loggs avhandling handlar om automatiseringen av en av naturvetenskapernas huvuduppgifter: lösning av differentialekvationer. Logg analyserar nyckelstegen i denna automatisering och presenterar nya metoder och algoritmer för lösning av differentialekvationer. Dessa metoder finns realiserade i programvaran DOLFIN, som har utvecklats som en del av doktorsarbetet. DOLFIN är fri programvara och används av både studenter och forskare.
En nyckel till effektiv lösning av differentialekvationer är adaptivitet, som innebär strategisk användning av datorn. I en adaptiv beräkning anpassas upplösningen i rum och tid för att möjliggöra att lösningen till differentialekvationen kan beskrivas på ett så effektivt sätt som möjligt. Det har tidigare varit oklart hur man skall gå till väga för att konstruera multi-adaptiva metoder, som tillåter att upplösningen i tiden kan variera i rummet. Ett huvudtema för avhandlingen har varit utvecklingen av multi-adaptiva metoder och i avhandlingen presenteras en generell teori och metodik för multi-adaptiva metoder. Detta är av stort intresse för simulering av system där en del av systemet förändras snabbt medan resten av systemet förändras långsammare.
Avhandlingen ”Automation of Computational Mathematical Modeling” försvarades vid en offentlig disputation på Chalmers den 10 juni 2004.
Anders Logg är uppväxt på Smögen. I september flyttar han till Chicago för att arbeta som Research Assistant Professor på Toyota Technological Institute.
Kontaktinformation
Mer information:
Anders Logg, Matematik, Chalmers och Göteborgs universitet, tel: 031-772 5367, e-post logg@math.chalmer.se
Ett urval av bilder som illustrerar olika aspekter av automatiserad lösning av differentialekvationer kan beställas från Chalmers informationsavdelninga, e-post: jorun.fahle@adm.chalmers.se
