Nya matematiska mättnadsegenskaper

Matematisk logik innebär helt enkelt matematisk behandling av logik.
– Frågeställningarna är ungefär de samma som för filosofin, de har att göra med vår nyfikenhet på hur tillvaron är beskaffad, säger Fredrik Engström.

I Sverige har matematisk logik traditionellt sett varit ett undanskuffat område, speciellt har modeller till aritmetiken i stort sett totalt negligerats. Därför har Fredrik Engströms forskning skett under handledning av Richard Kaye i Birmingham, Storbritannien, författare till standardverket inom modeller till aritmetiken.

Avhandlingen är en del av detta ganska smala område. Den vänder och vrider på ett par mycket viktiga begrepp och visar att det finns intressanta varianter. Det handlar framförallt om mättnadsegenskaper, såsom rekursiv mättning. Att en modell är mättad betyder att man som matematiker tillåts ”önsketänka” – önskar man ett element med en viss typ av egenskap så finns det – under förutsättningen att önskning är konsistent.

Traditionellt har man trott att det bara finns en viktig sådan mättnadsegenskap, men i början av 1990-talet hittades en ny. I avhandlingen presenteras ytterligare ett par sådana egenskaper, som, åtminstone i någon mening, kan betraktas som intressanta.

Området matematisk logik startade med Freges till största del lyckade försök att formalisera logiken. Med David Hilberts forskningsprogram för att reducera all matematik till ändliga metoder lades mycket arbete på aritmetiken. Många försökte formalisera aritmetiken i den nya logiken på ett sådant sätt att man kunde bevisa att formaliseringen inte medförde några motsägelser.

I början av 1930-talet lyckades dock Kurt Gödel visa att någon sådan formalisering inte kan existera. Han bevisade vad som kom att kallas Gödels ofullständighetssats, nämligen att ett matematiskt system som är tillräckligt starkt för att uttrycka både addition och multiplikation måste vara ofullständigt, speciellt kan det inte bevisa sin egen motsägelsefrihet. Gödels sats och liknande resultat öppnade upp möjligheterna till ickestandardmodeller till aritmetiken, vilka betraktade inifrån uppträder precis som vanlig aritmetik, men vilka, betraktade utifrån, har ”oändligt” stora tal.

Under 1970-talet fick området modeller till aritmetiken ett ordentligt uppsving, mycket tack vare Paris-Harringtons sats som ger ett exempel på en ”vanlig” kombinatorisk aritmetisk utsaga, som inte är avgörbar i aritmetik, det vill säga som varken går att bevisa eller motbevisa ur de vanliga aritmetiska axiomen.

Avhandlingen ”Expansions, omitting types, and standard systems” försvarades vid en offentlig disputation på Chalmers den 10 december.

Fredrik Engström är uppvuxen i Ulricehamn.

Kontaktinformation
För mer information, kontakta:
Fredrik Engström, Matematiska vetenskaper, Chalmers, tel 031-772 53 52
e-post: engstrom@math.chalmers.se