Matematiska begrepp är robusta
Matematiska begrepp verkar bara kunna förklaras på ett sätt till skillnad från begrepp inom naturvetenskapen. Det visar en avhandling i logik från Göteborgs universitet, skriven av Jörgen Sjögren, universitetsadjunkt vid Högskolan i Skövde.
Jörgen Sjögren har utvecklat en teori om hur begrepp bildas i matematik, inspirerad av Aristoteles grundtanke att matematiska begrepp är abstraktioner som saknar en självständig existens.
I sin forskning har han använt sig av den tyske filosofen och logikern Rudolf Carnaps (1891-1970) idé att man i vetenskapliga eller matematiska sammanhang ofta har vaga begrepp som behöver ersättas med mer precisa begrepp inom en teori. Denna process av alltmer förfinade abstraktioner kallas explikation.
Jörgen Sjögren exemplifierar med åtskilliga begrepp från både matematik och naturvetenskap, som till exempel funktion, naturligt tal, mängd, beräkningsbarhet, gravitation, hastighet och art.
Till exempel visar han hur funktionsbegreppet har utvecklats från ett geometriskt (kurvor) i slutet av 1600-talet, via ett algebraiskt (algebraiska uttryck) till det moderna, mängdteoretiska funktionsbegreppet i slutet av 1800-talet, där en funktion är en typ av hopparning av element. Begreppet har på så sätt blivit alltmer abstrakt för att kunna hantera olika typer av matematiska frågeställningar, men har samtidigt ett konkret ursprung i exempelvis hur något påverkar (orsakar) något annat.
– En av mina slutsatser är att välutvecklade matematiska begrepp bara verkar kunna explikeras på ett och endast ett sätt, de är robusta, medan begrepp inom naturvetenskap inte verkar vara bestämda på detta sätt. De är teoriberoende på ett helt annat sätt än matematiska begrepp, säger Jörgen Sjögren.
Utifrån sin idé om begreppsbildning har han analyserat några matematikfilosofiska frågeställningar. Bland annat det argument som normalt uppfattas som det starkaste för matematisk realism, alltså att matematiken är något som redan finns.
Argumentet utgår från att matematik är nödvändig för våra bästa vetenskapliga teorier om verkligheten, och grundar sig på inslag i den amerikanske filosofen och logikerna Quines (1908-2000) filosofi, som holism (tanken att helheten är något mer än summan av sina delar), naturalism samt hans kriterium för existensen av objekt.
– Jag har identifierat holism som den svagaste delen i argumentet, eftersom det utnyttjar en felaktig föreställning om i vilket avseende en matematisk teori testas tillsammans med en vetenskaplig teori, säger Jörgen Sjögren.
Avhandlingen består av tre, delvis överlappande, delar. De handlar om ”Begreppsbildning i matematik”, ”Att mäta kraften hos en aritmetisk teori” och ”Några tillämpningar”.
Kontaktinformation
En längre sammanfattning av avhandlingen (pdf)
Mer information:
Jörgen Sjögren, telefon: 0500-44 86 03, e-post: jorgen.sjogren@his.se
Avhandlingens titel: Concept Formation in Mathematics
Avhandlingen är framgångsrikt försvarad.
Författarens hemsida: www.his.se/sjos
Avhandlingen kan beställas från Göteborgs universitetsbibliotek (189 kr): acta@ub.gu.se
Den finns även digitalt publicerat på: http://hdl.handle.net/2077/25299
